Question

已知函数f(x)=cos

x

2

(sin

x

2

+

3

cos

x

2

)-

3

2

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）画出y=f（x）在区间[-

5π

6

，

7π

6

]上的图象，并求y=f（x）在[-

2π

3

，

π

3

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=sin(x+

π

3

)，令x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x的表达式，即可得到函数的图象的对称轴．
（Ⅱ）用五点法做出函数y=f（x）在区间[-

5π

6

，

7π

6

]上的图象．

解答：（Ⅰ）∵f(x)=cos

x

2

(sin

x

2

+

3

cos

x

2

)-

3

2

=cos

x

2

sin

x

2

+

3

cos2

x

2

-

3

2

（2分）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)．（4分）
令x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=kπ+

π

6

(k∈Z)，
∴f(x)=sin(x+

π

3

)的对称轴方程为：x=kπ+

π

6

(k∈Z)．（6分）
（Ⅱ）由-

5π

6

≤x≤

7π

6

，可得-

π

2

≤x+

π

3

≤

3π

2

．
列表：

2x+ π 3	- π 2	0	π 2	π	3π 2
x	- 5π 6	- π 3	π 6	2π 3	7π 6
f（x）	-1	0	1	0	-1

函数y=f（x）在区间[-

5π

6

，

7π

6

]上的图象如下：
（10分）
∴函数y=f（x）最大值为1，最小值为-

3

2

．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换和化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象和性质，用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，属于中档题．