题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0，n∈N^*，则a₂=________；并归纳出数列{a_n}的通项公式a_n=________．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：将n=1，代入已知等式，结合a₁=2可以得到a₂的值．再用n=2、3、4、5，求出数列的前面几项，发现各项都是一个分数，它的分子比分母大1，且分子成等比数列的特征，由此可以推出数列{a_n}的通项公式．
解答：当n=1时，a₁a₂+a₂-2a₁=0，结合a₁=2，得
2a₂+a₂-2×2=0?a₂= $\text{[math]}$
再取n=2、3、4、5，用同样的方法可以算出：
a₃= $\text{[math]}$ ，a₄= $\text{[math]}$ ，a₅= $\text{[math]}$
所以猜想： $\text{[math]}$
接下来证明此结论：
∵a_n+1a_n+a_n+1-2a_n=0
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$
∴数列 $\text{[math]}$ 构成以 $\text{[math]}$ 为首项，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，可得a_n= $\text{[math]}$
点评：本题以一个数列模型为载体，考查了数列的递推关系、归纳推理和等比数列的通项等知识点，属于中档题．

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