Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求通项公式a_n；
（3）设b_n=n，求{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1=2an+1(n∈N*)变形为 an+1+1=2(an+1)(n∈N*)，即可证明结论；
（2）由（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用“错位相减法”和等差数列等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵an+1=2an+1(n∈N*)变形为 an+1+1=2(an+1)(n∈N*)，
∴

an+1+1

an+1

=2  (n∈N*)，
∴数列{a_n+1}成等比数列．
（2）由（1）知，{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1．
（3）∵b_n=n，
∴an•bn=n (2n-1)，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…a_nb_n=1（2¹-1）+2（2²-1）+3（2³-1）+…n（2ⁿ-1）
=（1•2¹+2•2²+3•2³+…n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令Sn=1•21+2•22+3•23+…n•2n，
2Sn= 1•22+2•23+3•24+…n•2n+1，
两式相减-Sn=1•21+22+23+…2n-n•2n+1．
∴Sn=2n+1(n-1)+2．
∴Tn=2n+1(n-1)+2-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等差数列等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，属于难题．