题目内容
（2013•南通一模）如图，已知定点R（0，-3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使| PQ |
| 1 |
| 2 |
| QM |
| PR |
| PM |
（1）求动点M的轨迹C1；
（2）圆C2：x2+（y-1）2=1，过点（0，1）的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：
| AB |
| CD |
分析：（1）设M的坐标，表示出P，Q的坐标，可得
，
的坐标，利用数量积公式，可得轨迹方程，从而可得轨迹；
（2）由题意，
•
=AB•CD，AB=FA-FB=y1+1-1=y1，CD=y2，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．
| PR |
| PM |
（2）由题意，
| AB |
| CD |
解答：（1）解：设M（x，y），则
由
=
，可得P(-
，0)，Q(0，
)
∴
=(
，-3)，
=(
，y)
∵
•
=0，
∴(
，-3)•(
，y)=0
∴x2=4y
∴动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线；
（2）证明：由题意，
•
=AB•CD，圆C2：x2+（y-1）2=1的圆心即为抛物线C1的焦点F
设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=FA-FB=y1+1-1=y1，
同理CD=y2，
设直线的方程为x=k（y-1）
代入抛物线方程可得k2y2-（2k2-4）y+k2=0
∴
•
=AB•CD=y1y2=1．
由
| PQ |
| 1 |
| 2 |
| QM |
| x |
| 2 |
| y |
| 3 |
∴
| PR |
| x |
| 2 |
| PM |
| 3x |
| 2 |
∵
| PR |
| PM |
∴(
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
∴x2=4y
∴动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线；
（2）证明：由题意，
| AB |
| CD |
设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=FA-FB=y1+1-1=y1，
同理CD=y2，
设直线的方程为x=k（y-1）
代入抛物线方程可得k2y2-（2k2-4）y+k2=0
∴
| AB |
| CD |
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目