题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=| 2 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）求sin（A+B）的值；
（Ⅱ）求sinA的值；
（Ⅲ）求
| CB |
| CA |
分析：（Ⅰ）根据三角形的内角和定理和诱导公式得到要求的式子sin（A+B）=sinC，可根据cosC的值和范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可得到sin（A+B）的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的sinC和已知条件a=1，c=
利用正弦定理即可求出sinA；
（Ⅲ）根据向量的数量积的法则
•
=|
|×|
|×cosC即要求b的值，利用余弦定理和已知的cosC，a和c的值即可求出c，代入即可求出向量的数量积．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的sinC和已知条件a=1，c=
| 2 |
（Ⅲ）根据向量的数量积的法则
| CB |
| CA |
| CB |
| CA |
解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A+B=π-C，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC．
又∵cosC=
，∴0＜C＜
，
∴sinC=
=
．
∴sin(A+B)=
．
（Ⅱ）由正弦定理得
=
，
∴sinA=
=
=
．
（Ⅲ）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，
∴(
)2=12+b2-2×1×b×
，即2b2-3b-2=0．
解得b=2或b=-
（舍）．
∴
•
=|
|×|
|×cosC=1×2×
=
．
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC．
又∵cosC=
| 3 |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴sinC=
| 1-cos2C |
| ||
| 4 |
∴sin(A+B)=
| ||
| 4 |
（Ⅱ）由正弦定理得
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
∴sinA=
| asinC |
| c |
1×
| ||||
|
| ||
| 8 |
（Ⅲ）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，
∴(
| 2 |
| 3 |
| 4 |
解得b=2或b=-
| 1 |
| 2 |
∴
| CB |
| CA |
| CB |
| CA |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：此题是一道中档题，要求学生灵活运用正弦、余弦定理解决实际问题，会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握向量的数量积的法则．
练习册系列答案
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |