题目内容

（2007•闵行区一模）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=
12
时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）当a=1，c=
1
2
时，f(x)=x2+bx+
1
2
，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，利用根与系数的关系求出函数的两个零点，结合图象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由题意得出函数f（x）的零点，结合图解法求得f（x）＜0的解即可；
（3）由于f（x）的图象与x轴有两个交点，结合图象表示出三交点为顶点的三角形的面积表达式，从而得到a关于c的表达式，最后利用基本不等式求a的取值范围；
（4）要使f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2-2km+1成立，令g（k）=-2km+m2，下面问题转化为恒成立问题解决，利用二次函数的图象与性质解得实数m的取值范围．
解答：解：（1）文：当a=1，c=
1
2
时，f(x)=x2+bx+
1
2
，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(
1
2
)=0，设另一个根为x2，则
1
2
x2=
1
2
，∴x2=1，（2分）
则 f（x）＜0的解为  
1
2
＜x＜1．（4分）
（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x2，则cx2=
c
a
∴x2=
1
a
（2分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
1
a
＞c，则f（x）＜0的解为c＜x＜
1
a
（4分）
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x2，则cx2=
c
a
∴x2=
1
a

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
1
a
＞c，则三交点为(c，0)，(
1
a
，0)，(0，c)（6分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S=
1
2
(
1
a
-c)c=8，（7分）
∴a=
c
16+c2
≤
c
2
16
c
=
1
8
故a∈(0，  
1
8
]．（10分）
（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
1
a
＞c，
∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）max=1≤m2-2km+1成立，（14分）
必m2-2km≥0，令g（k）=-2km+m2，
对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要
g(1)≥0
g(-1)≥0
，即
m2-2m≥0
m2+2m≥0
（16分）
解得实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分类讨论，每一类讨论正确得（2分），结论（2分）．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式与一元二次方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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