题目内容

定义在R⁺上的函数f（x）满足：
（1）存在a＞1，使f（a）≠0；
（2）对任意的实数b，有f（x^b）=bf（x）．若方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，求m的取值范围．

解：令t=x^b，则b=log_xt，
则f（t）=log_xt•f（x）
即log_xt= $\text{[math]}$
若f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，
则 $\text{[math]}$ 的所有解大于1，
即log_a（mx）•log_a（mx²）-4=0的所有解大于1，
即2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，
令u=log_ax，由a＞1，
则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0
由韦达定理可得 $\text{[math]}$
解得：0＜m≤ $\text{[math]}$
故m的取值范围为（0， $\text{[math]}$ ]
分析：令t=x^b，则b=log_xt，可得log_xt= $\text{[math]}$ ，进而根据方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，我们可以得到2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，令u=log_ax，则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0，结合韦达定理，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数与议程的综合应用，抽象函数的应用，其中根据已知条件，得到log_xt= $\text{[math]}$ ，从而将抽象问题具体化，是解答本题的关键．