Question

如图，多面体EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．

（1）证明： BE⊥AC；

（2）在棱BE上是否存在一点N，，使得直线CN与平面ADE成30°角，若存在，求出BN的长度：若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）法一：连结BD，∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC．   -    　∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，

∴DE⊥平面ABCD，    

   　∴DE⊥AC，       

∵BD 、DE在平面BDE内，且相交于D，

   　∴AC⊥平面BDE，    

∴BE⊥AC．     

  法二：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC两两互相垂直，可建立如图的空间直角坐标系，

   ∴A，C，B，E，

∴，，

∵，∴，即BE⊥AC．

（Ⅱ）∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，

∴DA、DE、DC两两互相垂直，可建立如图的空间直角坐标系，  

   ∴B，C， E，D，

∴，，，  

   ∵点N在棱BE上，∴可设，

   ∴=，  

   由于CD⊥平面ADE，∴为平面ADE的法向量．

当直线CN与平面ADE成30°角时， 60°，

∴  ，

，解得，∵，∴，---12分

∴BN=．    4