Question

已知向量

m

=(

1

a

，

1

2a

)(a＞0)，将函数f(x)=

1

2

ax2-a的图象按向量

m

平移后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)在[

2

，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y）是函数y=f（x）图象上的任意一点，它在函数y=g（x）图象上的对应点P'（x'，y'），则由平移公式，得

x′=x+ 1 a y′=y- 1 2a

∴

x=x′- 1 a y=y′+ 1 2a

代入函数y=f(x)=

1

2

ax2-a中，
得y′+

1

2a

=

1

2

a(x′-

1

a

)2-a.
∴函数y=g（x）的表达式为g(x)=

1

2

a(x-

1

a

)2-a-

1

2a

.
（Ⅱ）函数g（x）的对称轴为x=

1

a

＞0.
①当0＜

1

a

＜

2

即a＞

2

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为增函数，
∴h(a)=g(

2

)=-

2

；
②当

2

≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤

2

2

时，h(a)=g(

1

a

)=-a-

1

2a

.
∴h(a)=-a-

1

2a

=-(a+

1

2a

)≤-2

a• 1 2a

=-

2

当且仅当a=

2

2

时取等号；
③当

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为减函数，
∴h(a)=g(2)=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

.
综上可知，h(a)=

- 2 ，a＞ 2 2 -a- 1 2a 1 2 ≤a≤ 2 2 . a-2，0＜a＜ 1 2

∴当a=

2

2

时，函数h（a）的最大值为h(

2

2

)=-

2

.