Question

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期为π，图象的一条对称轴是直线x=

π

12

（1）求ω，φ的值；
（2）若将函数g（x）的图象向左平移

π

6

个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

4

倍得到函数f（x）的图象，求当x∈[-

7π

6

，π]，g（x）的最大值和最小值；
（3）画出函数f（x）长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析：（1）由周期求得ω=2，由对称轴方程求得φ=kπ+

π

3

，k∈z．再结合|φ|＜

π

2

可得φ=

π

3

．
（2）根据可得函数g（x）=3sin[

1

2

（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin（

1

2

x+

π

4

）的图象，
当x∈[-

7π

6

，π]，有-

π

3

≤

1

2

x+

π

4

≤

3π

4

，故-

3

2

≤sin（

1

2

x+

π

4

）≤1，故-

3 3

2

≤sin（

1

2

x+

π

4

）≤3，
g（x）的最大值为3，最小值．
（3）用五点法作图，画出函数f（x）长度为一个周期的闭区间上的简图．

解答：解：（1）由题意可得

2π

ω

=π，∴ω=2，且 2×

π

12

+φ=kπ+

π

2

，∴φ=kπ+

π

3

，k∈z．
再结合|φ|＜

π

2

 可得φ=

π

3

．
（2）由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数g（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），由x∈[-

7π

6

，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得
g（x）的最大值和最小值．
（3）如图：

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，
正弦函数的定义域和值域，属于中档题．