Question

已知函数f(x)=

lnx

x

-x.
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）证明：对?n∈N₊，不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，研究在（0，+∞）上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值．
（2）要证不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

即证ln(

1+n

n

) ＜

1+n

n2

=

1+n

n

(

1+n

n

-1)，所以只需证明lnx＜x（x-1），由第一问可知f（x）≤1，结论很快得证．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1-lnx

x2

-1
令f'（x）=0得x²=1-lnx
显然x=1是上方程的解．
令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞）
则g′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵当0＜x＜1时f′(x)=

1-lnx

x2

-1＞0，
当x＞1时f'（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时函数有最大值f（x）_max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，
对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）（8分）
∵

1+n

n

＞1
∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

.（11分）
即对?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

恒成立（12分）

点评：本题考查了利用导数求函数的最值问题，以及以不等式为载体考查导数的应用．