题目内容

已知数列|a_n|满足： $数学公式$ ，且存在大于1的整数k使 $数学公式$ ．
（1）用a₃表示m（不必化简）
（2）用k表示m（化成最简形式）
（3）若m是正整数，求k与m的值．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（4分）
（2） $\text{[math]}$ ①…（6分）
∴ $\text{[math]}$ ②
由①-②得 $\text{[math]}$ …（8分）
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ …（10分）
（3）由k＞1知|k-7|＜7^n-1
又∵m∈N^*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（13分）
分析：（1）根据数列|a_n|满足： $\text{[math]}$ ，逐一迭代可求；
（2）由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，错位相减可求；
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ ，因为，k＞1时，|k-7|＜7^n-1，根据m∈N^*故此有k-7=0，从而可求．
点评：本题的考点是数列递推式，主要考查迭代法，考查错位相减法求数列的和，关键是题意的等价转化．

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