题目内容

若f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且对于一切x＞0满足f（
x
y
）=f（x）-f（y），
（1）求f（1）的值
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+5）-f（
1
x
）＜-2．
分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）依题意（f（6）=-1），可求得f（36）=-2，从而f（x+5）-f（
1
x
）＜-2?f[（x+3）x]＜f（36），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数可得到关于x的不等式组，解之即可．
解答：（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）-f（1）=0------（2分）
（2）∵f（
36
6
）=f（36）-f（6），f（6）=-1，
∴f（36）=2f（6）=-2------（4分）
∴f（x+3）-f（
1
x
）＜f（36），
∴f[（x+3）x]＜f（36）------（6分）
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数∴
x2+5x＞36
x+5＞0
x＞0
------（10分）
∴x＞4------（12分）
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，考查函数函数单调性的性质，突出考查等价转化思想的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．
14、下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x1，x2是函数f（x）定义域内的两个值，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是
①④
．
若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．
已知下列命题四个命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0）上是增函数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；
③设函数f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函数为f-1（x），则f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，则A=
π
3
．
其中真命题的个数有（　　）
若f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则不等式f(2x-1)＜f(
13
)的解集为
 
．

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