Question

已知函数是奇函数.

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，

所以，对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.

又f(x)=x³+ax²+3bx+c,

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2.

所以

解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x³+3bx+2.

所以f′(x)=3x²+3b(b≠0).

当b＜0时，由f′(x)=0得x=±

x变化时，f′(x)的变化情况如下表：

x	(-∞,- )	-	(-,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.