Question

已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）当0＜a≤

1

2

时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

4

时，若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）=0，得x1=

1-a

a

， x2=1，再进行分类讨论：当a=

1

2

时，f'（x）≤0；当0＜a＜

1

2

时，

1-a

a

＞1，在（0，1）和(

1-a

a

，+∞)上，有f'（x）＜0，在(1，

1-a

a

)上，f'（x）＞0，由此即可得到结论；
（Ⅱ）当a=

1

4

时，

1-a

a

=3，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，确定函数f（x）在（0，2）的最小值，再将对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，转化为只需当x∈[1，2]时，g_max（x）≤f（x）_min即可，由此可求实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x 2

=-

[ax-(1-a)](x-1)

x2

(x＞0)
令f′（x）=0，得x1=

1-a

a

， x2=1…（3分）
当a=

1

2

时，f'（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减         …（4分）
当0＜a＜

1

2

时，

1-a

a

＞1，在（0，1）和(

1-a

a

，+∞)上，有f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在(1，

1-a

a

)上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增    …（6分）
（Ⅱ）当a=

1

4

时，

1-a

a

=3，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1
由（Ⅰ）知，函数f（x）在（0，1）上是单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，2）的最小值为f(1)=-

1

2

…（8分）
若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需当x∈[1，2]时，g（x）_max≤-

1

2

即可，
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_max=g（2）=8-4b≤-

1

2

，b≥

17

8

，不合题意，舍去，
当b∈[1，2]时，g（x）_max=g（b）=4-b²≥0，不合题意，舍去，
当b＞2时，g（x）_max=g（1）=5-2b，b≥

11

4

．
综上，实数b的取值范围是[

11

4

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，解题的关键是将对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，转化为只需当x∈[1，2]时，g_max（x）≤f（x）_min．