Question

如图，已知四棱锥S―ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.

   （I）求证是定值；

   （II）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使得异面直线OP与BQ所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ的长；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：法一：（I）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，过O且平行于AD的直线为Ox轴.过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示空间直角坐标系

    设S（0，0，z）（z>0，z∈R）

    则

   

    即为定值

   （II）由（I）建立的空间直角坐标系可知

    A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）

P（－1，）

设点Q（x，y，z），则存在λ使

法二：（I）证明：在△SDC内，作SE⊥CD交CD于E，连结OE

∵SO⊥平面ABCD  ∴SO⊥CD

∴CD⊥平面SOE   ∴SO⊥OE

∴OE//AD  ∴DE=1

从而CE=3

即为定值

   （II）利用其它方法求解同样可得分