Question

已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量

m

=(1-cos(A+B)，cos

A-B

2

)，

n

=(

5

8

，cos

A-B

2

)且

m

•

n

=

9

8

（1）求tanA•tanB的值；（2）求

absinC

a2+b2-c2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值．
（2）把余弦定理代入式子

absinC

a2+b2-c2

，再应用基本不等式求出式子的最大值．

解答：解：（1）∵

m

=(1-cos(A+B)，cos

A-B

2

)，

n

=(

5

8

，cos

A-B

2

)，
由已知

m

•

n

=

9

8

 得：

5

8

 （1-cos（A+B））+cos2

A-B

2

=

9

8

，
 即 

5

8

 （1-cos（A+B））+

1+coa(A-B)

2

=

9

8

，4cos（A-B）=5cos（A+B），
∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=

1

9

．
（2）

absinC

a2+b2-c2

=

absinC

2abcosC

=

1

2

 tanC=-

1

2

 tan（A+B）=-

1

2

•

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

16

 （tanA+tanB）≤-

9

16

•2

tanAtanB

=-

3

8

，（当且仅当 A=B 时等号成立），
故

absinC

a2+b2-c2

 的最大值为-

3

8

．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以及余弦定理得应用．