Question

19．在△ABC中，已知|AB|=4$\sqrt{2}$，A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），且三内角A，B，C满足sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，求顶点C的轨迹方程．

Answer 1

分析 由sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，由正弦定理可得：|CA|-|CB|=$\frac{1}{2}$|AB|=2$\sqrt{2}$＜|AB|．即可得到顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．

解答 解：∵sinB-sinA=$\frac{1}{2}$sinC，
由正弦定理可得：|CA|-|CB|=$\frac{1}{2}$|AB|=2$\sqrt{2}$＜|AB|．
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，a=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{6}$，
∴顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1（x≥$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了双曲线的标准方程、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．