Question

（文）已知函数f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），设f′（x）的最小值为-

4

3

（I）求a的值；
（II）求f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-a=3（x+

a

3

）²-

a2

3

-a，当x=-

a

3

时，f′（x）取最小值-

a2

3

-a=-

4

3

，由此能求出a．
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），列表讨论能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x²+2ax-a=3（x+

a

3

）²-

a2

3

-a，
∵f′（x）的最小值为-

4

3

，
∴当x=-

a

3

时，f′（x）取最小值-

a2

3

-a=-

4

3

，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值为1．…（4分）
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

x	（-∞，-1）	1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值0	↓	极小值 - 32 27	↑

当-1＜m＜1时，g（m）=f（-1）=0；
当m≥1时，g（m）=f（m）=m³+m²-m-1，
∴g（m）=

0，-1＜m＜1 m3+m2-m-1，m≥1

．…（12分）

点评：本题考查利用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．