Question

11．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（1）判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并证明你的结论；
（2）求函数在$[{\frac{1}{2}，2}]$上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=2，可得a=1，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，f（x）在[1，+∞）上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）可得f（x）在（0，1）递减，求得最小值，比较端点处的函数值，可得最大值．

解答 解：（1）∵由f（1）=2，得a=1，
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}$，f（x）在[1，+∞）上为增函数，
下用单调性的定义证明：设1≤x₁＜x₂，
由$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}$=${x_1}-{x_2}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，得f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数． 
（2）同（1）可证，当0＜x₁＜x₂≤1时，
有（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，得f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上为减函数，
∴f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上有$f{（x）_{max}}=f（{\frac{1}{2}}）=f（2）=\frac{5}{2}$，
f（x）_min=f（1）=2．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，以及运用：求最值，考查定义法的运用，考查运算能力，属于被揭穿他．