Question

已知函数f(x)=logm

1+x

1-x

，其中m＞0，m≠1．
（1）判断函数f（x）奇偶性并加以证明；
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，且f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求[f（a）]²-[f（b）]²的值．

Answer 1

分析：（1）先根据对数性质，求出函数f（x）的定义域，先判断其定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与-f（x）的关系，结合函数f（x）奇偶性的定义可得答案．
（2）由已知根据对数的运算性质，可得f（a）+f（b）=1，f（a）-f（b）=2，进而可得答案．

解答：解：（1）f（x）为奇函数，证明如下：
函数f(x)=logm

1+x

1-x

的定义域为（-1，1）关于原点对称，
f（x）+f（-x）=logm

1+x

1-x

+logm

1-x

1+x

=log_m1=0
即f（-x）=-f（x）
即函数f（x）为奇函数
（2）由题意可得f(

a+b

1+ab

)=logm(

1+a

1-a

•

1+b

1-b

)=logm(

1+a

1-a

)+logm(

1+b

1-b

)=f（a）+f（b）=1
f(

a-b

1-ab

)=logm(

1+a

1-a

÷

1+b

1-b

)=logm(

1+a

1-a

)-logm(

1+b

1-b

)=f（a）-f（b）=2
∴f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

∴[f（a）]²-[f（b）]²=2

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对数的运算性质，熟练掌握对数的运算性质是解答的关键．