Question

如图，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等，设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的通项公式是    ．

Answer 1

【答案】分析：设，利用已知可得A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位线，得到==，梯形A₁B₁B₂A₂的面积=3S．由已知可得梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a_n．
解答：解：设，∵OA₁=a₁=1，OA₂=a₂=2，A₁B₁∥A₂B₂，
∴A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位线，∴==，∴梯形A₁B₁B₂A₂的面积=3S．
故梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积=3S．
∵所有A_nB_n相互平行，∴所有△OA_nB_n（n∈N^*）都相似，∴，，，…，
∵，∴，，…．
∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n-1）×3=3n-2．
∴．
因此数列{a_n}的通项公式是．
故答案为．
点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．