Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

的零点均在区间[a，b]（b＞a，a，b∈Z）内，则圆x²+y²=b-a的面积的最小值是（　　）

Answer 1

分析：利用导数求出函数f（x）的零点所在的区间，由于f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，且f（0）=1＞0，f（-1）＜0，即可得到a，b的值，继而求出面积的最值．

解答：解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=

1，x=1 1-x2013 1-x ，x≠1

由于x＞1时，必有x²⁰¹³＞1；x＜1时，必有x²⁰¹³＜1，则

1-x2013

1-x

＞0，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，
且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2013

＜0，
∴函数f（x）在（-1，0）上有一个零点，即得b-a的最小值是1，
则圆x²+y²=b-a的面积的最小值是π．
故选B

点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．