Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合抽象表达式用

x

y

代替x，y不变，即可转化即可获得问题f(

x

y

)=f(x)-f(y)的解答；
（2）首先利用数值的搭配计算f（9）=2，进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的要求，进而问题即可获得解答．

解答：解：（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

×y)=f(x)
因此，满足 f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，?

a-1＞0 a＞0 f[(a-1)•9]＜f(a)

?

a＞1 (a-1)•9＜a

?1＜a＜

9

8

，
故a的取值范围（1，

9

8

）

点评：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．