Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；
（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根据题意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．
（2）令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
当x∈（-∞，-1）时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈（-1，1）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减
因为f（-1）=2，f（1）=-2，
所以当x∈[-2，2]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值为4．
（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x₀，y₀）．
则y₀=x₀³-3x₀．
因为f'（x₀）=3x₀²-3，所以切线的斜率为3x₀²-3．
则3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0．
因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解．
所以函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点．
则g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．
当x∈（-∞，0）时，g^′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g^′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；
所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：

g(0)＞0 g(2)＜0

，即

6+m＞0 -2+m＜0

，解得-6＜m＜2．

点评：（1）此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想；
（2）此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值；
（3）此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数的关系．