Question

已知函数f（x）=2asin²x+2

3

asinx•cosx+a+b，（a＞0，x∈R），当x∈[0，

π

2

]时，其最大值为6，最小值为3，
（1）求函数的最小正周期；
（2）写出函数的单调递减区间；
（3）求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=2asin²x+2

3

asinx•cosx+a+b，根据降幂公式（逆用二倍角公式）及辅助角公式，可将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据T=

2π

ω

，求出函数的最小正周期；
（2）根据正弦函数的性质，及（1）中所得的函数的解析式，结合a＞0，可以构造一个关于x的不等式，解不等式求出满足条件的x的取值范围，即可得到函数的单调递减区间；
（3）根据（2）中所得的函数的单调区间，结合x∈[0，

π

2

]，可得当X=0时，函数f（x）取最大值6，当X=

π

2

时，函数f（x）取最小值3，由此可以构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出求a，b的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2asin²x+2

3

asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+

3

asin2x+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+2a+b
∴T=π
（2）∵a＞0，
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z
∴单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）
（3）x∈[0，

π

2

]时，
2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
则有：sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
又∵当x∈[0，

π

2

]时，最大值为6，最小值为3
即a+b=3，4a+b=6，
则 a=1，b=2为所求．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，其中根据降幂公式（逆用二倍角公式）及辅助角公式，我将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答本题的关键．