Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=

7

2

，S₆=

63

2

．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，证明数列{b_n}为等差数列；
（3）对（2）中的数列{b_n}，前n项和为T_n，求使T_n最小时的n的值．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列求和公式建立a₁与q的方程组，从而可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，然后计算b_n+1-b_n看其是否常数，从而可判断是否为等差数列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

求出满足条件的n，从而可求出使T_n最小时的n的值．

解答：解：（1）∵S₆=

63

2

≠2S₃，∴q≠1
∴

a1(1-q3) 1-q = 7 2 a1(1-q6) 1-q = 63 2

两式子相除得1+q³=9，解得q=2，
代入解得a₁=

1

2

∴a_n=a₁q^n-1=2^n-2．
（2）b_n=6n-61+log₂a_n=7n-63，
b_n+1-b_n=7（n+1）-63-7n+63=7，
∴{b_n}为等差数列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

得

7n-63≤0 7n-56≥0

解得8≤n≤9，
∴当n=8或n=9时，前n项和为T_n最小．

点评：本题主要考查了数列的通项，以及数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解能力，属于基础题．