Question

（Ⅰ）已知k∈N，n∈N^*，且 k≤n，求证：=；
（Ⅱ） 若（n+1）=31，试求n的值，并求（1+x）²ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）=，由此能够证明=．
（Ⅱ）由（n+1）=31，能够推导出2ⁿ⁺¹-1=31，解得n=4．故（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展开式中系数最大的项是第5项，由此能求出（1+x）²ⁿ的展开式中系数最大的项．
解答：（Ⅰ）证明：=
==，
∴=．
（Ⅱ）解：∵（n+1）=31，
∴+++…+
=+…+
=2ⁿ⁺¹-1，
∴2ⁿ⁺¹-1=31，
∴2ⁿ⁺¹=32，解得n=4．
∴（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸展开式中系数最大的项是第5项，
则=70x⁴，
∴（1+x）²ⁿ的展开式中系数最大的项为70x⁴．
点评：本题考查组合数的证明，考查展开式中系数最大的项的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意组合数公式的灵活运用．