Question

已知圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于A、B两点，
（1）求公共弦AB所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y=-x上，且经过A、B两点的圆的方程；
（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦AB所在的直线方程；
（2）求出两圆的交点坐标，设出圆心坐标，由半径相等求得圆心坐标，则圆心在直线y=-x上，且经过A、B两点的圆的方程可求；
（3）求出AB中点坐标及AB的长度，则以AB为直径的圆的方程可求．

解答：解：（1）由

x2+y2+2x+2y-8=0 x2+y2-2x+10y-24=0

⇒x-2y+4=0．
∴圆C₁：x²+y²+2x+2y-8=0与圆C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共弦AB所在的直线方程为x-2y+4=0；
（2）由（1）得x=2y-4，代入x²+y²+2x+2y-8=0中得，y²-2y=0，
∴

x=-4 y=0

或

x=0 y=2

，即A（-4，0），B（0，2），
又圆心在直线y=-x上，
设圆心为M（x，-x），则|MA|=|MB|，|MA|²=|MB|²，
即（x+4）²+（-x）²=x²+（-x-2）²，解得x=-3．
∴圆心M（-3，3），半径|MA|=

10

．
∴圆心在直线y=-x上，且经过A、B两点的圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
（3）由A（-4，0），B（0，2），
则AB中点为（-2，1），

1

2

|AB|=

1

2

(-4-0)2+(0-2)2

=

5

．
∴经过A、B两点且面积最小的圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5．

点评：本题考查了圆与圆位置关系的判定，考查了圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题．