题目内容

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为 $数学公式$ n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以 $数学公式$ n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）

解：在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠CAB
= $\text{[math]}$ +2²-2× $\text{[math]}$ ×2×（- $\text{[math]}$ ）=6，
所以，BC= $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，由正弦定理，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以，sin∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB=15°．
设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，
则有CD=10 $\text{[math]}$ t，BD=10t．
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°，
所以180⁰-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°，
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．?
在△BCD中，∴∠BCD=30°，∠CBD=90°+30°=120°，
∴∠CDB=30°，∴BD=BC= $\text{[math]}$ ，
则t= $\text{[math]}$ ，即缉私艇最快追上走私船所需时间 $\text{[math]}$ h．
分析：在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度；在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；设缉私船用t h在D处追上走私船，CD=10 $\text{[math]}$ t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得缉私艇行驶方向，在△BCD中易判断BD=BC，由t= $\text{[math]}$ 即可得到追缉时间．
点评：本题考查余弦定理与正弦定理在解决实际问题中的应用，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题．