Question

（2009•河北区二模）已知函数f(x)=

3 a

2

sin4x-3cos4x，且f(

π

24

)=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期T和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，求θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后根据f（

π

24

）=0求出a的值，确定出函数解析式，整理为一个角的正弦函数，求出周期T，利用正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；
（Ⅱ）由θ的范围求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出θ的度数即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

asinxcosxcos2x-6cos²2x+3=

3 a

2

sin4x-3cos4x，
∵f（

π

24

）=0，∴

3 a

2

sin

π

6

-3cos

π

6

=0，解得：a=6，
∴f（x）=3

3

sin4x-3cos4x=6sin（4x-

π

6

），
∴函数f（x）的周期T=

π

2

，
令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得到-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
则f（x）单调递增区间为[-

π

12

+

kπ

2

，

π

6

+

kπ

2

]，k∈Z；
（Ⅱ）依题意得sin（4θ-

π

6

）=-

1

2

，
∵θ∈（-

5π

24

，

π

24

），∴-π＜4θ-

π

6

＜0，
∴4θ-

π

6

=-

π

6

或-

5π

6

，
解得：θ=0或-

π

6

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．