Question

函数y=sin

x

2

+cos

x

2

，x∈（-2π，2π）为增函数的区间是

 

．

Answer 1

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简整理，设

x

2

+

π

4

=t，根据x的范围确定t的范围，进而根据函数f（t）的单调性确定函数为增函数时t的范围，进而确定x的范围，答案可得．

解答：解：y=sin

x

2

+cos

x

2

=

2

（

2

2

sin

x

2

+

2

2

cos

x

2

）=

2

sin（

x

2

+

π

4

）
∵x∈（-2π，2π）
设

x

2

+

π

4

=t，则-

3π

4

≤t≤

5π

4

∵函数f（t）=

2

sint在[-

π

2

，

π

2

]上单调增，
∴当

3π

4

≤t≤

5π

4

时，函数f（t）=

2

sint的单调增区间为[-

π

2

，

π

2

]
即-

π

2

≤

x

2

+

π

4

≤

π

2

∴-

3π

8

≤x≤

π

8

故答案为[-

3π

8

，

π

8

]

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．要熟练记忆和掌握正弦函数的图象，根据图象判断函数的单调性较为直观．