Question

设数列{a_n}为前n项和为S_n，a₁=2，数列{ S_n+2}是以2为公比的等比数列．
（1）求a_n；
（2）抽去数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，若{c_n}的前n项和为T_n，求证：＜≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）由数列{ S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，进而可求通项；
（2）新数列{c_n}为2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列．由此入手能证明：＜≤．
解答：解：（1）由题意得：S₁=a₁=2，S₁+2=4，（1分）
已知数列{ S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列
所以有：S_n+2=2ⁿ⁺¹，S_n=2ⁿ⁺¹-2    （4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，又a₁=2（6分）
所以：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1）（7分）
（2）由（1）知：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1），
∴数列{c_n}为2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，…，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（8分）
∴当 n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k-3）
=+=×8^k-，（11分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k=×8^k-，（10分）
==+，
∵5×8^k-12≥28，∴＜≤3．（11分）
∴当n=2k （k∈N^*）时，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k）
=+=×8^k-，（12分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2=×8^k-，（13分）
∴==+，∵8^k-1≥7，∴＜＜，
∴＜≤．（14分）
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．