题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且椭圆经过点N（2，-3）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求椭圆以M（-1，2）为中点的弦所在直线的方程．
分析：（1）由离心率的值、椭圆经过点N（2，-3），及a、b、c之间的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆C的方程．
（2）设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率，点斜式
写出弦的方程，并化为一般式．
解答：解：（1）∵椭圆经过点（2，-3），∴
22
a2
+
(-3)2
b2
=1，
又 e=
c
a
=
1
2
，解得：a2=16，b2 =12，所以，椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1．
（2）显然M在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2）是以M为中点的弦的两个端点，
则
x
2
1
16
+
y
2
1
12
=1，
x
2
2
16
+
y
2
2
12
=1，相减得：
(x2-x1)(x2+x1)
16
+
(y1+y2)
12
=0，
整理得：k=-
12(x1+x2)
16(y1+y2)
=
3
8
，∴弦所在直线的方程  y-2=
3
8
（x+1），即：3x-8y+19=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程的点斜式．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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