Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为 ， ∴ ，又a2=b2+c2 ，
解得a=2 ，b= ，
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，
①当k=0时，设直线l的方程为y=y0 ， P（﹣x0 ， y0），Q（x0 ， y0），
则 ，
∴S= |2x0||y0|=|x0||y0|=2 ≤ =2，
当且仅当 =2﹣ ，即|y0|=1时，取等号，
此时直线l的方程为y=±1．
②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
联立 ，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，
由△=（8km）2﹣4（1+4k2）4（m2﹣2）＞0，
解得8k2+2＞m2 ， （*）
， ，
∴PQ中点为（﹣ ， ），
∵|AP|=|AQ|，∴ ，化简得1+4k2=3m，
结合（*）得0＜m＜6，
又O到直线l的距离d= ，
|PQ|= |x1﹣x2|= ，
∴S= |PQ|d= = = ，
∴当m=3时，S取最大值2，此时k= ，直线l的方程为y= ．
综上所述，直线l的方程为y=±1或y=
【解析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为 ，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．