Question

14．在平面直角坐标系xOy中，通过点（2，-2）且平行于向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4）的直线l与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A，B两点，若圆上一点C满足3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△OAB的面积等于$\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 根据条件可以求出直线l的方程为$y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$，可联立圆的方程并且消去y得到25x²-16x+4-9r²=0，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y）．根据$3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可得出$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}}\\{y=-\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}}\end{array}\right.$，根据x²+y²=r²，这样可消去x，y，而根据韦达定理便可得到关于r²的方程，这样可解出r²，然后可求点O到直线l的距离，以及根据弦长公式求出|AB|，从而便可得出△OAB的面积．

解答 解：根据条件知直线l的斜率为$-\frac{4}{3}$，则直线l的方程为：
$y+2=-\frac{4}{3}（x-2）$，即：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$，联立圆的方程并消去y得：25x²-16x+4-9r²=0（1）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），则：
3（x₁，y₁）+5（x₂，y₂）+4（x，y）=（0，0）；
$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}}\\{y=-\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}}\end{array}\right.$；
x²+y²=r²；
∴$（\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}）^{2}+（\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}）^{2}={r}^{2}$；
根据${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}={r}^{2}，{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}={r}^{2}$上面式子整理得：${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{5}{r}^{2}$；
由方程（1）得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16}{25}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-9{r}^{2}}{25}$；
∴y₁y₂=$\frac{16}{9}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{8}{9}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{4}{9}$=$\frac{4}{25}-\frac{16}{25}{r}^{2}$；
∴$\frac{4-9{r}^{2}}{25}+\frac{4}{25}-\frac{16}{25}{r}^{2}=-\frac{3}{5}{r}^{2}$；
解得${r}^{2}=\frac{4}{5}$；
∴${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{44}{2{5}^{2}}$；
原点到直线l的距离为$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}=\frac{2}{5}$，|AB|=$\sqrt{（1+\frac{16}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{5}{3}\sqrt{\frac{1{6}^{2}+44×4}{2{5}^{2}}}=4\sqrt{3}$；
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×\frac{2}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

点评 考查直线的斜率公式，直线的点斜式方程，向量坐标的加法及数乘运算，韦达定理，以及点到直线的距离公式，弦长公式．