Question

已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.

Answer 1

解:∵线段AB在直线l:y=x上,且线段AB的长为

∴设M(x,y),A(t,t),?B(t+1,t+1)?(t为参数),则

直线PA的方程为y-2=(x+2)(t≠-2),          ①

直线QB的方程为y-2=x(t≠-1).              ②

∵M(x,y)是直线PA、QB的交点,

∴x、y是由①②组成的方程组的解,由①②消去参数t,得x²-y²+2x-2y+8=0?③

当t=-2时,PA的方程为x=-2,QB的方程为3x-y+2=0,此时的交点为M(-2,-4).

当t=-1时,QB的方程为x=0,PA的方程为3x+y+4=0,此时的交点为M(0,-4).

经验证,点(-2,-4)和(0,-4)均满足方程③.

故点M的轨迹方程为x²-y²+2x-2y+8=0.

启示:由于长为的线段AB在直线l上移动,故只需借助参数表示出A、B的坐标,从而得直线PA、QB的方程,而M是这两直线的交点,消去参数即得交点的轨迹方程.