Question

（22）如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为伪点，当时，求双曲线离心率c的取值范围.

 

Answer 1

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力。

解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，

依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得

，                                         1

 

.                          2 

 

由1式得，                                  3

将3式代入2式，整理得，故                               

由题设得，。

 

解得，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[].