Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）当PA=AB=AD时，求二面角F-AB-C的度数．

Answer 1

分析：（1）取PO中点H，连FH，AH，由三角形中位线定理，及E为AB中点，可得AEFH为平行四边形，从而EF∥AH，再由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；
（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，我们可得PA⊥CD，CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而根据线面垂直的性质可得CD⊥AH，结合AH∥EF得到EF⊥CD；
（3）结合（2）中CD⊥平面PAD，我们由线面垂直的第二判定定理可得BA⊥平面PAD，则∠HAD即为二面角F-AB-C的平面角，解三角形HAD即可得到二面角F-AB-C的度数．

解答：解：（1）证明：取PD中点H，连FH，AH
则FH平行且等于

1

2

CD，
又CD平行且等于AB，E为AB中点，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH为平行四边形，
从而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
所以EF∥平面PAD
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD，
又AH?平面PAD，
∴CD⊥AH，
而AH∥EF，
∴CD⊥EF．
（3）由CD⊥平面PAD，CD∥AB，
∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AH，BA⊥DA，
∴∠HAD即为二面角F-AB-C的平面角，
由PA=AB=AD，易知∠HAD=45°，
即为二面角F-AB-C的度数是45°

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1），（2）的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行、垂直的判定定理及性质定理，（3）的关键是证得∠HAD即为二面角F-AB-C的平面角．