Question

（本小题满分12分）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.

（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；

（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；

（Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

解：（Ⅰ）集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是

；

（Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,

又因为当，

所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.

（Ⅲ）解：，证明如下：

①对于，根据定义

如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即；

②对于，根据定义

如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见中的元素个数不多于中的元素个数，即.

由①②可知.