Question

已知函数f(x)=

sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

-

1-cosx

4sin2 x 2

（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）当x∈(

π

6

，

π

2

)时，求函数f（x）的值域．
（3）若

a

=(sinα，1)，

b

=(cosα，1)并且

a

∥

b

，求f（α）的值．

Answer 1

f(x)=-

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-sin2x

-

2sin2 x 2

4sin2 x 2

=

1- 1 4 sin22x

2-sin2x

-

1

2

=

(1- 1 2 sin2x)(1+ 1 2 sin2x)

2(1- 1 2 sin2x)

-

1

2

=

1

4

sin2x．
（1）因为函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ，k∈Z}，f（-x）=-f（x）所以函数f（x）为奇函数；
（2）当x∈(

π

6

，

π

2

)时，2x∈（

π

3

，π），函数中sin2x的最大值为1，最小值为0且取不到，所以f（x）的最大值为

1

4

，最小值为0，所以f（x）的值域为(0，

1

4

]；
（3）由

a

∥

b

得sinα-cosα=0，
∴

2

（

2

2

sinα-

2

2

cosα）=

2

sin（α-

π

4

）=0，
所以α-

π

4

=kπ，解得α=kπ+

π

4

，
∴f（α）=

1

4

sin2α=

1

4

sin（2kπ+

π

2

）=

1

4

sin

π

2

=

1

4

．