Question

已知函数f（x）是定义在R内的可导函数，且f（x）=f （2-x），（x-1）f′（x）＜0，若a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为

1. A.
   a＜b＜c
2. B.
   b＜a＜c
3. C.
   c＜b＜a
4. D.
   c＜a＜b

Answer 1

D
分析：由题意得对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．由当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．
解答：由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．
因为（x-1）f′（x）＜0，
所以当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．
因为-1＜0＜，
所以f（-1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），
所以c＜a＜b．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容．