Question

已知函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将其化简，并求其周期、最小值和单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），化简为y=+cos4x，从而可求其周期、最小值和单调递减区间．
解答：解：∵y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-sin²2x
=+cos4x…（6分），
∴周期T= …（7分），
 最小值为：-=…（9分）
由2kπ≤4x≤2kπ+π，（k∈Z）得：≤x≤+，（k∈Z）
∴单调递减区间[，+]，（k∈Z）…（12分）     注：丢掉k∈Z扣1分．
点评：本题考查二倍角的余弦，三角函数的平方关系式及三角函数的周期性及其求法，突出考查余弦函数的单调性，属于中档题．