Question

已知：函数f（x）=2cosx+sin²x （-

π

4

＜x≤

π

2

），求：f（x）的最小值，以及取最小值时x的值．

Answer 1

分析：利用sin²x=1-cos²x，可将f（x）=2cosx+sin²x，转化为f（x）=2cosx+1-cos²x=-（cosx-1）²+2，依题意即可求得f（x）的最小值及取最小值时x的集合．

解答：解：∵f（x）=2cosx+sin²x 
=2cosx+1-cos²x
=-（cosx-1）²+2；
又-

π

4

＜x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1，-1≤cosx-1≤0，
∴0≤（cosx-1）²≤1，
-1≤-（cosx-1）²≤0，1≤2-（cosx-1）²≤2．
∴当x=

π

2

时，f（x）_min=1．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查二次函数的配方法及余弦函数的性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题．