Question

6．已知双曲线的中心在平面直角坐标系的原点，实轴长为4，一个焦点是F（0，3），则双曲线的方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{7}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1

Answer 1

分析 根据题意，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由双曲线的实轴长为4，一个焦点是F（0，3），建立关于a、b、c的方程，解出a²、b²之值，即可得到该双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线中心在原点，焦点在y轴上，
∴设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
∵双曲线的实轴长为4，一个焦点是F（0，3），
∴2a=4，c=3，可得a=2，c=3，
由此可得b²=c²-a²=5，
∴双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$，
故选：D．

点评 本题给出双曲线的一个焦点和实轴长，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识点，属于基础题．