Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于， 两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）当直线的斜率为时，求的面积．

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得经， 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】试题分析：(1)由短轴长为得，由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点得，由此求出，即可求出椭圆方程；(2)先写出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出的坐标，从而求出，由点到直线的距离公式求出点到到直线的距离即可求三角形的面积；(3) 设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形，设出直线方程，与椭圆方程联立，由韦达定理计算，即可求出的取值范围.

试题解析：（1）设椭圆方程为，

根据题意得所以，

所以椭圆方程为；

（2）根据题意得直线方程为，

解方程组得坐标为， 计算，

点到直线的距离为， 所以，；

（3）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．

坐标为，

由得，，

，

计算得：，其中，

由于以为邻边的平行四边形是菱形，所以，

计算得， 即，， 所以.

（可以设点，也可以设直线得到和的函数关系式）