Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点A，B在椭圆E上，直线AB经过坐标原点O．若AF⊥x轴，cos∠AFB=-$\frac{3}{5}$，则椭圆E的离心率e=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过设A（c，y）并代入椭圆方程可知|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，通过连结点B与椭圆左焦点F′，利用椭圆定义可知|BF|=2a-|BF′|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，利用cos∠AFB=-$\frac{3}{5}$可知$\frac{|BF′|}{|BF|}$=$\frac{3}{5}$，进而计算可得结论．

解答 解：根据题意可知F（c，0），
如图设A（c，y），则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
连结点B与椭圆左焦点F′，
由题可知BF′⊥x轴，且|BF′|=|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|BF|=2a-|BF′|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵cos∠AFB=-$\frac{3}{5}$，
∴cos∠FBF′=$\frac{3}{5}$，即$\frac{|BF′|}{|BF|}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2a-\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\frac{3}{5}$，整理得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．