Question

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

c

a+b

+

a

b+c

=1，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

Answer 1

分析：A、B、C成等差数列，理由为：已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入求出cosB的值，确定出B的度数，利用等差数列的性质判断即可得证．

解答：解：A、B、C成等差数列，
证明如下：
∵

c

a+b

+

a

b+c

=1，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac，即a²+c²-b²=ac，
在△ABC中，由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
∵0＜B＜180°，∴B=60°，
∴A+C=2B=120°，
∴A、B、C成等差数列．

点评：此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．