Question

【题目】如图，已知三棱锥中，为中点，为中点,且为正三角形.

(I)求证：平面；

(II)求证：平面平面；

(III)若,求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）VD-BCM=VM-BCD=

【解析】

(1)证明:∵M为AB中点,D为PB中点, ∴MD∥AP.

又∵平面APC， ∴DM∥平面APC. ----------------3分

(2)证明:∵△PMB为正三角形,且D为PB中点, ∴MD⊥PB.

又由(1)知,MD∥AP. ∴AP⊥PB.

又已知AP⊥PC, ∴AP⊥平面PBC. ∴AP⊥BC.

又∵AC⊥BC, ∴BC⊥平面APC.

∴平面ABC⊥平面PAC. ---------------8分

(3)解:∵AB="20, " ∴MB=10.∴PB=10

又BC=4,.

又.

∴. -----------12分