题目内容
已知函数f(x)=2sin2(| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（1）求f(
| 5π |
| 12 |
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．
（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．
（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．
（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=Asin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．
（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．
解答：解：（1）f(
)=2sin2(
+
)+
(sin2
-cos2
)=3．
（2）f(x)=[1-cos(
+2x)]-
cos2x=1+sin2x-
cos2x=1+2sin(2x-
)．
又 x∈[
，
]，
∴
≤2x-
≤
，
当
≤2x-
≤
时，f（x）单调递增；
当
≤2x-
≤
时，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是[
，
]；
f（x）的单调递减区间是[
，
]．
（3）由（2）得 2≤1+2sin(2x-
)≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[
，
]．
∴m＞f（x）max-2且 m＜f（x）min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．
| 5π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（2）f(x)=[1-cos(
| π |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
又 x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
当
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以f（x）的单调递增区间是[
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
f（x）的单调递减区间是[
| 5π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（3）由（2）得 2≤1+2sin(2x-
| π |
| 3 |
∴f（x）的值域是[2，3]．
|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴m＞f（x）max-2且 m＜f（x）min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．
点评：本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的最值，本题解题的关键是正确整理出函数的最简结果，本题的难度和高考卷中出现的题目的难度相似．
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